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MATEMATICAS

Teorema Fundamental del Cálculo

junio 21, 2025
Teorema fundamental del cálculo

Bienvenido a una de las cumbres más emocionantes del pensamiento matemático. El Teorema Fundamental del Cálculo es mucho más que una simple fórmula; es el puente dorado que conecta dos mundos que hasta ahora parecían separados: el mundo de las derivadas (que miden el cambio instantáneo) y el mundo de las integrales (que miden la acumulación total). Entender este teorema te dará un superpoder para resolver problemas complejos de la física, la economía y la ingeniería de una manera sorprendentemente elegante. ¡Prepárate para desvelar el secreto que une la velocidad con la distancia y el crecimiento con la totalidad!

✅ PROPÓSITO DE APRENDIZAJE

Comprender la relación inversa entre la derivación y la integración a través del Teorema Fundamental del Cálculo, y aplicarlo para evaluar integrales definidas que modelan situaciones del mundo real

🧠 1. FASE COGNITIVA

Index

    ¿Qué es el Teorema Fundamental del Cálculo y por qué es tan Revolucionario?

    Imagina que el cálculo tiene dos grandes protagonistas. Por un lado, la derivada, que nos permite calcular la pendiente de una curva en un punto exacto, dándonos una “fotografía” de su tasa de cambio instantánea. Piensa en el velocímetro de un carro. Por otro lado, la integral definida, que nos permite calcular el área bajo esa misma curva, dándonos una medida de “acumulación total”. Piensa en la distancia total recorrida por ese carro. Durante siglos, estos dos conceptos se estudiaron por separado. El genio de Newton y Leibniz fue demostrar que eran dos caras de la misma moneda: procesos inversos. El Teorema Fundamental del Cálculo es la prueba matemática de esta conexión profunda y revolucionaria.

    A. Definición de los Conceptos Clave

    Para dominar este teorema, primero debemos tener claros sus ingredientes:

    • Derivada (f'(x)): Representa la tasa de cambio instantánea de una función en un punto. Es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
    • Antiderivada o Primitiva (F(x)): Es la operación inversa a la derivación. F(x) es una antiderivada de f(x) si F'(x) = f(x). Por ejemplo, una antiderivada de f(x) = 2x es F(x) = x².
    • Integral Definida (∫ₐᵇ f(x) dx): Es un número que representa la acumulación total de la función f(x) desde un límite inferior a hasta un límite superior b. Geométricamente, es el área neta bajo la curva de f(x) en ese intervalo.

    Las Dos Caras del Teorema: Entendiendo sus Partes

    El teorema se presenta en dos partes que se complementan perfectamente.

    Primera Parte del Teorema Fundamental del Cálculo (TFC1): La Derivada de la Integral

    Esta parte es la que establece la relación conceptual. Nos dice que si construimos una “función de acumulación de área”, la derivada de dicha función es la función original. Formalmente: Si g(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, entonces g'(x) = f(x).

    Ejemplo Concreto: Imagina que f(t) es el caudal de agua (litros/segundo) que llena una piscina en el tiempo t. La integral g(x) = ∫₀ˣ f(t) dt representa la cantidad total de agua en la piscina después de x segundos. Lo que TFC1 nos dice es que la tasa a la que está cambiando la cantidad de agua (g'(x)) en cualquier instante x es exactamente igual al caudal (f(x)) en ese mismo instante. ¡Tiene todo el sentido del mundo!

    Segunda Parte del Teorema Fundamental del Cálculo (TFC2): La Regla de Barrow

    Esta segunda parte es la herramienta de cálculo, la “máquina” que usaremos para resolver problemas. Es la consecuencia directa de la primera parte y nos permite calcular integrales definidas sin tener que sumar infinitos rectángulos. Formalmente: Si F es cualquier antiderivada de f, entonces: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) – F(a)

    Esta fórmula es poderosa y elegante. Nos dice que la acumulación total (la integral definida) es simplemente la diferencia o el cambio neto en su antiderivada entre los puntos final e inicial.

    Teorema fundamental del cálculo
    GUÍA DE APRENDIZAJE

    Aplicaciones del Teorema Fundamental del Cálculo: El Procedimiento Paso a Paso

    Para resolver una integral definida usando la TFC2 (Regla de Barrow), sigue estos cuatro pasos infalibles:

    1. Identificar: Reconoce la función f(x) a integrar y los límites de integración, a (inferior) y b (superior).
    2. Integrar (Antiderivar): Encuentra una antiderivada F(x) de f(x). En este paso, puedes ignorar la constante de integración + C, ya que siempre se cancelará en la resta.
    3. Evaluar: Calcula el valor de la antiderivada en el límite superior (F(b)) y en el límite inferior (F(a)).
    4. Restar: Calcula la diferencia final: F(b) - F(a). El resultado es el valor de la integral definida.

    Ejemplo Resuelto: El Vuelo de un Dron

    Un dron despega y su velocidad vertical está dada por v(t) = 3t² + 2t m/s. ¿Qué distancia vertical ha recorrido entre t=1 s y t=3 s?

    1. Identificar: f(t) = 3t² + 2t, a = 1, b = 3. Buscamos ∫₁³ (3t² + 2t) dt.
    2. Integrar: La antiderivada (la función de posición) es D(t) = ∫(3t² + 2t) dt = t³ + t².
    3. Evaluar:
      • D(3) = (3)³ + (3)² = 27 + 9 = 36.
      • D(1) = (1)³ + (1)² = 1 + 1 = 2.
    4. Restar: Distancia = D(3) - D(1) = 36 - 2 = 34 metros.

    En resumen, el dron recorrió 34 metros verticalmente entre el primer y el tercer segundo.

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