Regla de tres compuesta

Mis jóvenes matemáticos, piensen en un proyecto grande, como construir un edificio, sembrar un jardín muy grande o incluso organizar un evento. En estas situaciones, no solo intervienen dos factores, sino varios a la vez. Por ejemplo, la cantidad de trabajadores, el tiempo que tardan, los metros cuadrados que deben construir, la cantidad de máquinas que usan, etc. Cuando necesitamos resolver un problema donde hay tres o más magnitudes que se relacionan entre sí, ya no nos basta con la Regla de Tres Simple. Necesitamos la Regla de Tres Compuesta.

A. Definición de los conceptos clave del tema

La Regla de Tres Compuesta es un método matemático que nos permite resolver problemas de proporcionalidad en los que intervienen tres o más magnitudes, algunas de las cuales pueden tener una relación de proporcionalidad directa y otras, inversa. En esencia, es una extensión de la Regla de Tres Simple.

Para aplicar la Regla de Tres Compuesta, es vital recordar los tipos de proporcionalidad y cómo identificarlos:

• Magnitud: Cualquier cosa que se pueda medir o contar y que cambie en un problema. Ejemplos: obreros, días, horas, metros de tela, precio, número de objetos, velocidad, rendimiento, etc.
• Proporcionalidad Directa (D): Cuando dos magnitudes se relacionan de tal manera que, si una aumenta, la otra también aumenta en la misma proporción; o si una disminuye, la otra también disminuye. Su cociente es constante.
  • Ejemplo: Más obreros, más metros de pared construida (si el tiempo es constante). Más comida, más costo.
• Proporcionalidad Inversa (I): Cuando dos magnitudes se relacionan de tal manera que, si una aumenta, la otra disminuye en la misma proporción; o si una disminuye, la otra aumenta. Su producto es constante.
  • Ejemplo: Más obreros, menos tiempo para construir una pared (si los metros son constantes). Mayor velocidad, menos tiempo de viaje.

La complejidad de la Regla de Tres Compuesta radica en que debemos analizar cada magnitud por separado con la magnitud que contiene la incógnita para determinar si la relación es directa o inversa.

B. Procedimiento o paso a paso para resolver problemas con la Regla de Tres Compuesta

Resolver problemas con la Regla de Tres Compuesta requiere un análisis cuidadoso, pero siguiendo estos pasos, se volverá más sencillo:

1. Identificar las magnitudes y organizar los datos:
   • Lee el problema con mucha atención. Identifica todas las magnitudes involucradas y la magnitud que tiene la incógnita (x).
   • Organiza los datos en filas y columnas. Es útil colocar la magnitud con la incógnita en la última columna (o al final).
     • Magnitud 1 | Magnitud 2 | Magnitud 3 | … | Magnitud de la incógnita
     • Valor A1 | Valor A2 | Valor A3 | … | Valor AX (conocido)
     • Valor B1 | Valor B2 | Valor B3 | … | x (nuestro desconocido)
2. Analizar la relación de cada magnitud con la magnitud de la incógnita:
   • Este es el paso más crítico. Compara cada magnitud (por separado) con la magnitud que contiene la incógnita, asumiendo que las otras magnitudes permanecen constantes.
   • Pregúntate:
     • “Si la Magnitud 1 aumenta, ¿la magnitud de la incógnita aumenta o disminuye?” (Ignora las Magnitudes 2, 3, etc., por un momento).
       • Si aumenta → Directa (D)
       • Si disminuye → Inversa (I)
     • Repite este análisis para la Magnitud 2, la Magnitud 3, y así sucesivamente, siempre comparando con la magnitud de la incógnita.
3. Plantear la ecuación:
   • Escribe la incógnita x igual al valor conocido de su magnitud en la fila de los datos completos, multiplicado por las razones formadas por las otras magnitudes.
   • Para cada par de valores de las otras magnitudes:
     • Si la relación es Directa (D): La razón se escribe tal cual, es decir, el valor de la fila “completa” dividido por el valor de la fila de la incógnita. (Ej: Valor B1Valor A1​)
     • Si la relación es Inversa (I): La razón se escribe invertida, es decir, el valor de la fila de la incógnita dividido por el valor de la fila “completa”. (Ej: Valor A1Valor B1​)
   • La fórmula general sería: x=(Valor conocido de la incoˊgnita)×(seguˊn tipo D/IRazoˊn 1​)×(seguˊn tipo D/IRazoˊn 2​)×…
4. Resolver la ecuación:
   • Realiza las multiplicaciones y divisiones para encontrar el valor de x.
5. Escribir la respuesta con las unidades correctas: Asegúrate de que la respuesta tenga sentido en el contexto del problema.

Ejemplo Resuelto:

Problema: Si 4 obreros construyen un muro de 20 metros en 5 días, ¿cuántos días tardarán 6 obreros en construir un muro de 30 metros, trabajando al mismo ritmo?

Solución paso a paso:

1. Identificar magnitudes y organizar datos:
   • Magnitudes: Obreros, Metros de muro, Días (incógnita).
     • Obreros | Metros | Días
     • 4 | 20 | 5
     • 6 | 30 | x
2. Analizar la relación de cada magnitud con la magnitud de la incógnita (Días):
   • Obreros y Días:
     • Si aumento los obreros (de 4 a 6), ¿tardarán más o menos días en hacer el mismo muro? ¡Menos días!
     • Relación: Inversa (I).
   • Metros y Días:
     • Si aumento los metros a construir (de 20 a 30), ¿tardarán más o menos días los obreros? ¡Más días!
     • Relación: Directa (D).
3. Plantear la ecuación:
   • Comenzamos con el valor conocido de la incógnita: 5 días.
   • Para “Obreros” (Inversa), invertimos la razón: 64​
   • Para “Metros” (Directa), la razón se queda igual: 2030​

x=5×64​×2030​

4. Resolver la ecuación: x=5×64​×23​ (Simplificando 2030​ a 23​) x=5×1212​ (Multiplicando numeradores y denominadores) x=5×1 x=5
5. Respuesta: 6 obreros tardarán 5 días en construir un muro de 30 metros.